Introducción a la teoría de números¶
La teoría de números estudia los números enteros y sus propiedades, con énfasis en la operación de división.
Definición de divisibilidad¶
Se dice que un entero \(a\) divide a un entero \(b\) (denotado \(a \mid b\)) si y solo si existe un entero \(c\) tal que:
\[
b = a \cdot c
\]
Número de múltiplos¶
El número de múltiplos de un valor \(d\) entre \(1\) y \(n\) está dado por:
\[
\left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor
\]
Comentario sobre la fórmula: La función piso \(\lfloor \cdot \rfloor\) cuenta correctamente los múltiplos enteros de \(d\) que no exceden \(n\). Por ejemplo, para \(n=10\) y \(d=3\), \(\lfloor 10/3 \rfloor = 3\) (múltiplos: 3, 6, 9).
Propiedades de la divisibilidad¶
- Propiedad aditiva: Si \(a \mid b\) y \(a \mid c\), entonces \(a \mid (b + c)\).
- Propiedad multiplicativa: Si \(a \mid b\), entonces \(a \mid (b \cdot c)\) para cualquier entero \(c\).
- Propiedad transitiva: Si \(a \mid b\) y \(b \mid c\), entonces \(a \mid c\).
- Combinación lineal: Si \(a \mid b\) y \(a \mid c\), entonces \(a \mid (m \cdot b + n \cdot c)\) para cualesquiera enteros \(m\) y \(n\).
Conceptos teóricos adicionales¶
- Número primo: Entero mayor que 1 que solo es divisible por 1 y por sí mismo.
- Máximo común divisor (MCD): El mayor entero positivo que divide a dos o más números sin dejar residuo.
- Mínimo común múltiplo (MCM): El menor entero positivo que es múltiplo de dos o más números.
- Teorema fundamental de la aritmética: Todo entero mayor que 1 puede representarse de manera única como producto de números primos (salvo el orden de los factores).
Tabla de resumen¶
| Concepto | Definición | Ejemplo | Observaciones |
|---|---|---|---|
| Divisibilidad (\(a \mid b\)) | Existe \(c \in \mathbb{Z}\) tal que \(b = a \cdot c\) | \(3 \mid 12\) porque \(12 = 3 \cdot 4\) | Relación fundamental en teoría de números |
| Múltiplos hasta \(n\) | Cantidad de múltiplos de \(d\) en \([1, n]\): \(\lfloor n/d \rfloor\) | Para \(d=3, n=10\): \(\lfloor 10/3 \rfloor = 3\) | Usar función piso, no techo |
| Propiedad aditiva | Si \(a \mid b\) y \(a \mid c\) entonces \(a \mid (b+c)\) | \(3 \mid 6\) y \(3 \mid 9\) ⇒ \(3 \mid 15\) | Base para combinaciones lineales |
| Propiedad multiplicativa | Si \(a \mid b\) entonces \(a \mid (b \cdot c)\) | \(3 \mid 6\) ⇒ \(3 \mid (6 \cdot 5 = 30)\) | Se mantiene con cualquier multiplicador entero |
| Transitividad | Si \(a \mid b\) y \(b \mid c\) entonces \(a \mid c\) | \(2 \mid 4\) y \(4 \mid 12\) ⇒ \(2 \mid 12\) | Relación de orden parcial |
| Combinación lineal | Si \(a \mid b\) y \(a \mid c\) entonces \(a \mid (mb+nc)\) | \(3 \mid 6\) y \(3 \mid 9\) ⇒ \(3 \mid (2\cdot6 + 1\cdot9 = 21)\) | Generalización de propiedades anteriores |
Comentarios adicionales¶
- La teoría de números es fundamental en criptografía, algoritmos y ciencias de la computación.
- Las propiedades de divisibilidad son la base para algoritmos como el de Euclides para calcular el MCD.
- La corrección de \(\lceil n/d \rceil\) a \(\lfloor n/d \rfloor\) es importante: el techo sobreestimaría el conteo cuando \(n\) no es múltiplo exacto de \(d\).
- La propiedad 4 es particularmente útil en demostraciones y en el estudio de ecuaciones diofánticas lineales.
- Se recomienda explorar conceptos como congruencias módulo \(n\) y el algoritmo de división como extensiones naturales de esta introducción.