Trabajamos problemas de optimización lineal

1. Forma de holgura (igualdades) agregando variables de holgura
2. Metodo gráfico: Trazar restricciones y intersectas las areas de ellas en el area de soluciones factibles (acotado, finito), los puntos en esta area (interseccion entre restricciones) son las soluciones factibles, la mejor es elegir la que de mejor en la función objetivo
3. Metodo simplex: Las varibles de holgura (basicas) lo que quiere decir son distintas de cero y las variables de decisión (no basicas) son cero, el primer punto factible es el vector 0
   1. Metodo de holgura: Seleccionamos la variable que entra como el de mayor coeficiente en la funciń objetivo, la variable que sale es en la que esta nos da el menor valor positivo. Se pivotea esta nueva variable basica y se repite el procesoo hasta agotar las variables positivas en la función objetivo
   2. Metodo de tablero: Es similar, pero funciona con el criterio de los coeficiente en la función objetivo son negativos (despeje)

Resumen: Programación Lineal y Método Simplex

Conceptos Fundamentales

Concepto	Descripción	Ejemplo
Función Objetivo	Función lineal a maximizar/minimizar	\(z = 3x_e + 2x_i\)
Restricciones	Ecuaciones/inecuaciones lineales que limitan las variables	\(x_e + 2x_i \leq 6\)
Variables de Decisión	Variables principales del problema	\(x_e, x_i\)
Variables de Holgura	Variables adicionales para convertir desigualdades en igualdades	\(x_1, x_2, x_3, x_4\)
Solución Factible	Punto que satisface todas las restricciones	\((0,0)\)
Región Factible	Conjunto de todas las soluciones factibles	Polígono convexo

Formas del Problema

Forma	Características	Ventajas
Estándar	Maximización con desigualdades \(\leq\)	Fácil interpretación
Holgura	Igualdades con variables adicionales	Permite aplicar simplex
Canónica	Forma específica para algoritmos	Estandarización

Método Simplex - Proceso

Paso	Descripción	Ejemplo del Caso
1. Forma Holgura	Convertir a igualdades	\(x_1 = 6 - x_e - 2x_i\)
2. Solución Inicial	Variables no básicas = 0	\((x_e,x_i)=(0,0)\)
3. Selección Entrada	Variable con mayor coeficiente positivo	\(x_e\) (coef. 3)
4. Selección Salida	Mínima razón positiva	\(x_2\) sale
5. Pivoteo	Operaciones fila de Gauss-Jordan	Tablero actualizado
6. Iteración	Repetir hasta optimalidad	2 iteraciones

Aspectos No Tratados en el Ejemplo

Tema	Descripción	Aplicación
Minimización	Convertir a maximización multiplicando por -1	\(\min z = \max(-z)\)
Restricciones \(\geq\)	Variables de exceso y artificiales	Método de la M Grande
Degeneración	Múltiples soluciones óptimas	Análisis de sensibilidad
No Acotamiento	Región factible infinita	Coeficientes en función objetivo
Variables Libres	Variables sin restricción de signo	Sustitución \(x = x^+ - x^-\)
Análisis de Sensibilidad	Efecto de cambios en parámetros	Rangos de optimalidad
Dualidad	Problema dual asociado	Interpretación económica
Método de Dos Fases	Para problemas con variables artificiales	Fase I: factibilidad

Tabla Comparativa: Métodos de Solución

Método	Variables	Aplicación	Ventajas	Limitaciones
Gráfico	2-3	Visualización	Intuitivo	Solo 2-3 variables
Simplex	n	General	Eficiente en práctica	Complejidad exponencial
Punto Interior	n	Grande escala	Complejidad polinomial	Menos intuitivo

Resultado Final del Ejemplo

Solución Óptima: - \(x_e = \frac{10}{3}\), \(x_i = \frac{4}{3}\) - \(z = \frac{38}{3}\) - Variables básicas: \(x_e, x_i, x_3, x_4\) - Variables no básicas: \(x_1, x_2\)

Condición de Optimalidad: Todos los coeficientes en la función objetivo son no negativos.