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Ejemplos iniciales clase

Algoritmo de la división

Ejemplo inicial: Algoritmo de la división

Enunciado del problema

Dividir el número entero a = 127 entre el divisor d = 5, donde d > 0. Queremos encontrar el cociente q y el resto r tales que:

127 = 5q + r con 0 ≤ r < 5.

Paso 1: Identificar los valores

  • Dividendo: a = 127
  • Divisor: d = 5

Paso 2: Calcular el cociente q

El cociente q es el mayor entero que multiplicado por d no excede al dividendo a.

Dividimos 127 ÷ 5 ≈ 25.4.

Tomamos la parte entera hacia abajo (floor): q = 25.

Paso 3: Calcular el resto r

Usamos la fórmula r = a − d ⋅ q:

r = 127 − (5 ⋅ 25) = 127 − 125 = 2.

Paso 4: Verificar las condiciones

0 ≤ r < d:

0 ≤ 2 < 5 ✅ (se cumple).

Paso 5: Expresar el resultado

La división cumple con el teorema:

127 = 5 ⋅ 25 + 2.

Notación del algoritmo:

  • Cociente: q = 127 div 5 = 25
  • Resto: r = 127 mod 5 = 2

Ejemplo Máximo común divisor

Ejemplo: Cálculo del máximo común divisor

Sean a = 56 y b = 98. Queremos calcular el máximo común divisor, denotado como mcd(56, 98).

Paso 1: Dividir el número mayor por el menor

Dividimos 98 entre 56:

98 ÷ 56 = 1 (cociente), residuo = 98 - (56 × 1) = 42.

Ahora calculamos mcd(56, 42).

Paso 2: Dividir el menor entre el residuo

Dividimos 56 entre 42:

56 ÷ 42 = 1 (cociente), residuo = 56 - (42 × 1) = 14.

Ahora calculamos mcd(42, 14).

Paso 3: Dividir el menor entre el residuo

Dividimos 42 entre 14:

42 ÷ 14 = 3 (cociente), residuo = 42 - (14 × 3) = 0.

Finalización

Al obtener un residuo 0, el último residuo no nulo es 14. Por lo tanto:

mcd(56, 98) = 14

Explicación final

El máximo común divisor de 56 y 98 es 14, ya que es el mayor entero que divide a ambos números sin dejar residuo.

Minimo común múltiplo

Ejemplo: Cálculo del mínimo común múltiplo usando factorización en primos

Supongamos que queremos calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de los números 36 y 48 utilizando su descomposición en factores primos.

Paso 1: Factorización en primos

  • 36: Descomponemos en factores primos:

    36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

  • 48: Descomponemos en factores primos:

    48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹

Paso 2: Tomar los factores primos comunes y no comunes con sus mayores exponentes

  • De los factores 2: Tomamos el mayor exponente que es 2⁴.
  • De los factores 3: Tomamos el mayor exponente que es 3².

Paso 3: Multiplicar los factores seleccionados

mcm(36, 48) = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144

Resultado final

El mínimo común múltiplo de 36 y 48 es 144.

Algoritmo de Euclides

Paso 1

  • Divide el número mayor (340) por el menor (100):340÷100=3(cociente),residuo=340−(100×3)=40.

    340÷100=3(cociente),residuo=340−(100×3)=40.

    Ahora calculamos mcd(100,40)mcd(100,40).

Paso 2

  • Divide 100 por 40:100÷40=2(cociente),residuo=100−(40×2)=20.

    100÷40=2(cociente),residuo=100−(40×2)=20.

    Ahora calculamos mcd(40,20)mcd(40,20).

Paso 3

  • Divide 40 por 20:40÷20=2(cociente),residuo=40−(20×2)=0.

    40÷20=2(cociente),residuo=40−(20×2)=0.

Finalización

Al obtener un residuo 0, el último residuo no nulo es 20. Por lo tanto:

20

20

Explicación final:

El máximo común divisor de 100 y 340 es 20, ya que divide a ambos números sin dejar residuo (100÷20=5100÷20=5 y 340÷20=17340÷20=17).