Clase 13: Propagación y búsqueda¶

Propagación¶

Los algoritmos de propagación buscan reducir los dominios y llegar un CSP hiper arco consistente: estable no lo puedo reducir más, cad avalor en el dominio de las variables de decisión hace parte de una solución (satisfacen las restricciones

¿Como programar la aplicación de las reglas de propagación para garantizar terminación?

¿Como evitar apliciones de reglas de propagación redundantes?

¿Es la salida de las derivaciones unica? Si es así ¿Como puede ser caracterizada?

Para ilustrar estas preguntas, consideremos un ejemplo sencillo en el contexto de programación por restricciones: un problema de Sudoku reducido a un tablero de 4x4. Cada celda del tablero representa una variable con un dominio inicial de {1, 2, 3, 4}. Las restricciones indican que no puede haber valores repetidos en ninguna fila, columna o subcuadro.

¿Cómo programar la aplicación de las reglas de propagación para garantizar terminación?

Para garantizar la terminación, es fundamental implementar un mecanismo que controle el número de veces que se aplica una regla de propagación. Esto puede lograrse mediante un sistema de cola de restricciones pendientes. Cada vez que se reduce un dominio, las restricciones afectadas se añaden a la cola. El proceso termina cuando la cola está vacía, es decir, cuando no hay más dominios que reducir.
¿Cómo evitar aplicaciones de reglas de propagación redundantes?

Para evitar redundancias, se puede registrar el estado de las restricciones ya procesadas y las variables afectadas. Por ejemplo, si la reducción del dominio de una variable no provoca cambios en las restricciones relacionadas, no es necesario volver a aplicar esas restricciones en iteraciones futuras. Una estrategia común es usar estructuras de datos como conjuntos o tablas hash para rastrear los cambios y evitar cálculos innecesarios.
¿Es la salida de las derivaciones única? Si es así, ¿cómo puede ser caracterizada?

En este contexto, la salida de las derivaciones puede no ser única si el problema tiene múltiples soluciones o si hay ambigüedad en los dominios resultantes. Sin embargo, si el problema tiene una única solución, las derivaciones que resultan en un estado hiper arco consistente convergerán al mismo conjunto de dominios reducidos. Esto puede caracterizarse como el estado más reducido posible donde todas las restricciones son satisfechas.

Proceso intuitivo¶

Reduzca repetidamente dominios y restricciones
Pero debe mantener la equivalencia
Consecuencia: Un CSP localmente consistente
Algoritmo de propagación de restricciones
- Estan conformados por pasos de reducción atómico (aplicación de reglas)
- Regla de parada: Noción de consistencia local (nodo, arco, hiper arco)
Los algoritmos de propagación de restricciones son casos especiales de algoritmos iteración genericos
Propiedades relevantes
- Monotocidad (crece o decrece en su comportamiento)
- Inflacionaridad En matemáticas, una función se considera inflacionaria cuando cada valor de salida es mayor o igual que su valor de entrada correspondiente. Es decir, para cualquier valor x, f(x) ≥ x. Un ejemplo simple sería la función f(x) = x + 2. Esta función es inflacionaria porque: Para cualquier número que introduzcamos, la función siempre devolverá un número mayor que el original Por ejemplo: f(1) = 3, que es mayor que 1 f(5) = 7, que es mayor que 5
- Idempotencia: Una función que aplica muchas veces da el mismo resultado f(f(x)) = f(x), f(x) = x
- Conmutatividad f(a,b) = f(b,a)
El enfoque son funciones en ordenes parciales
Un orden parcial es una relación dada (a,b) tal que es reflexiva, antisimetrica y transitiva

Un ejemplo de una relación de orden parcial es la relación "menor o igual que" (<=) definida en los números reales. Esta relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva:

Reflexiva: Para cualquier número real a, se cumple que a <= a. Esto significa que cualquier elemento está relacionado consigo mismo.
Antisimétrica: Si a <= b y b <= a, entonces a = b. Esto implica que no puede haber dos elementos distintos que estén relacionados de manera bidireccional bajo esta relación.
Transitiva: Si a <= b y b <= c, entonces a <= c. Esto significa que si un elemento está relacionado con un segundo, y este segundo con un tercero, entonces el primero está relacionado directamente con el tercero.

Por ejemplo:

Reflexiva: 3 <= 3
Antisimétrica: Si 2 <= 2 y 2 <= 2, entonces 2 = 2
Transitiva: Si 1 <= 2 y 2 <= 3, entonces 1 <= 3

Un ejemplo de una relación de orden parcial es la relación entre los subconjuntos de un conjunto dado, utilizando el operador "es subconjunto de". En este caso, si tomamos un conjunto como {A, B, C}, su conjunto potencia incluye todos los subconjuntos posibles, como el conjunto vacío, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C} y {A, B, C}. La relación "es subconjunto de" establece que un subconjunto está relacionado con otro si todos los elementos del primero están también en el segundo.

Esta relación cumple con las propiedades de un orden parcial:

Es reflexiva porque cualquier conjunto es subconjunto de sí mismo. Por ejemplo, {A, B} es subconjunto de {A, B}.
Es antisimétrica porque, si un conjunto es subconjunto de otro y viceversa, entonces ambos conjuntos son iguales. Por ejemplo, si {A, B} es subconjunto de {A, B} y {A, B} es subconjunto de {A, B}, entonces los conjuntos son iguales.
Es transitiva porque, si un conjunto es subconjunto de otro, y este a su vez es subconjunto de un tercero, entonces el primer conjunto es subconjunto del tercero. Por ejemplo, si {A} es subconjunto de {A, B} y {A, B} es subconjunto de {A, B, C}, entonces {A} es subconjunto de {A, B, C}.

Fixpoint¶

Dado: (D, ⊑) y una función f en D.

a es un punto fijo de f si f(a) = a.
a es el menor punto fijo de f si a es el menor elemento del conjunto {x ∈ D | f(x) = x}.

Ejemplo sencillo:¶

Supongamos que D = {0, 1, 2, 3, 4} y definimos la función f(x) = min(x + 1, 4). Esto significa que f(x) toma el valor de x + 1, pero no puede exceder 4.

Calculemos f para cada elemento de D:
- f(0) = 1
- f(1) = 2
- f(2) = 3
- f(3) = 4
- f(4) = 4
Identifiquemos los puntos fijos: Un punto fijo es un valor a tal que f(a) = a. En este caso, f(4) = 4, por lo que 4 es un punto fijo.
Verifiquemos el menor punto fijo: El conjunto de puntos fijos es {4}. Como solo hay un punto fijo, este es el menor, es decir, el menor punto fijo es 4.

Por lo tanto, en este ejemplo, 4 es un punto fijo y también el menor punto fijo de la función f.

Iteraciones¶

Dado: (D, ⊑ ) con el menor elemento ⊥ y un conjunto de funciones F := {f1, . . ., fk} definidas en D.

Iteración de F: una secuencia infinita de valores d0, d1, d2, . . . definida como:

d0 := ⊥,

dj := fij (dj−1),

donde cada j > 0 y ij ∈ [1..k].
Secuencia creciente d0 ⊑ d1 ⊑ d2 . . . de elementos en D que eventualmente se estabiliza en d si para algún j ≥ 0 se cumple que:

di = d para todo i ≥ j.

En el contexto de un CSP (Problema de Satisfacción de Restricciones), esto describe cómo las iteraciones de funciones (o reglas de propagación) aplicadas a un dominio inicial ⊥ generan una secuencia de dominios cada vez más refinados (d0, d1, d2, ...) respetando las relaciones de orden parcial (⊑). Este proceso eventualmente llega a un punto estable (fijo) en el cual ya no es posible reducir más los dominios de las variables sin violar las restricciones, logrando así un estado consistente que satisface todas las restricciones del CSP.

Estabilización¶

Consideremos un conjunto parcialmente ordenado (D, ⊑) y funciones f, g definidas en D.

f es inflacionaria si x ⊑ f(x).
f es monótona si x ⊑ y implica f(x) ⊑ f(y).
f es idempotente si f(f(x)) = f(x).
f y g conmutan si f(g(x)) = g(f(x)).
f semi-conmuta con g (respecto a ⊑) si f(g(x)) ⊑ g(f(x)).

Lema de Estabilización

Dado:

(D, ⊑) con el menor elemento ⊥,
un conjunto finito de funciones monótonas F definidas en D.

Supongamos que una iteración de F eventualmente se estabiliza en un punto fijo común d para las funciones de F. Entonces, d es el menor punto fijo común de las funciones de F.

Contexto en CSP (Problemas de Satisfacción de Restricciones):

En el contexto de un CSP, este resultado implica que, al aplicar iterativamente un conjunto finito de funciones monótonas (como reglas de propagación de restricciones) a un dominio inicial ⊥, el proceso eventualmente se estabiliza en un estado consistente. Este estado es el menor punto fijo común, lo que significa que es la forma más refinada de los dominios de las variables que satisface todas las restricciones. Esto garantiza que el proceso no solo termina, sino que lo hace en un estado óptimo en términos de reducción de dominios sin violar restricciones.

Conmutatitivad¶

Dado:

(D, ⊑) con el menor elemento ⊥,
un conjunto finito F := {f1, ..., fk} de funciones definidas sobre D tales que:
- Cada f ∈ F es monótona e idempotente.
- Todas las funciones f, g ∈ F conmutan, es decir, f(g(x)) = g(f(x)).

Entonces, para cualquier permutación π : [1..k] → [1..k], la composición de funciones:

fπ(1)fπ(2)...fπ(k)(⊥)

es el menor punto fijo común de las funciones en F.

En el contexto de un CSP (Problema de Satisfacción de Restricciones):

Este resultado establece que, cuando se aplica un conjunto de funciones de propagación de restricciones que son monótonas, idempotentes y conmutativas, el orden en que se apliquen las funciones no afecta el resultado final. Al iniciar con el menor elemento ⊥ (el dominio inicial más general en un CSP) y aplicar iterativamente estas funciones en cualquier orden, el proceso converge al menor punto fijo común. Este punto fijo representa el estado más refinado de los dominios de las variables donde todas las restricciones son satisfechas. Esto garantiza que el proceso es determinista y alcanzará siempre el mismo resultado óptimo, independientemente del orden en que se apliquen las funciones.

Algoritmo de Iteración Directa (DI):

Inicializar el estado: d := ⊥.
Inicializar el conjunto de funciones: G := F.
Mientras G no esté vacío:
- Seleccionar una función g de G.
- Actualizar el estado: d := g(d).
- Eliminar g de G si ya no afecta el estado.

Este algoritmo asegura que se apliquen todas las funciones necesarias para alcanzar el menor punto fijo común, finalizando en un estado donde ningún dominio puede reducirse más sin violar las restricciones.

Semi conmutatividad¶

Dado: un orden parcial (D, ⊑) con el menor elemento ⊥ y una secuencia finita F := {f1, ..., fk} de funciones definidas en D que cumplen las siguientes propiedades:

Monótonas: Si x ⊑ y, entonces fi(x) ⊑ fi(y).
Inflacionarias: Para todo x, x ⊑ fi(x).
Idempotentes: fi(fi(x)) = fi(x).

Supongamos además que:

fi semi-conmuta con fj para i > j, es decir, para todo x:

fi(fj(x)) ⊑ fj(fi(x)).

Entonces, la composición f1f2...fk(⊥) es el menor punto fijo común de las funciones en F.

Contexto en un CSP (Problema de Satisfacción de Restricciones):

En el contexto de un CSP, este enunciado significa que al aplicar una secuencia finita de funciones que representan reglas de propagación de restricciones, dichas funciones tienen propiedades que garantizan la estabilidad y óptima reducción de los dominios de las variables. La propiedad de semi-conmutatividad asegura que, aunque el orden de aplicación de las funciones no sea estrictamente conmutativo, el resultado final sigue siendo consistente y converge al menor punto fijo común. Este punto fijo representa el estado más refinado en el que los dominios de las variables satisfacen todas las restricciones del CSP.

Por ejemplo, si tenemos dos reglas de propagación fi y fj, la propiedad fi(fj(x)) ⊑ fj(fi(x)) asegura que aplicar primero fj y luego fi no generará un resultado inconsistente respecto a aplicar primero fi y luego fj. Esto es crucial para garantizar que el proceso de propagación sea determinista y que el resultado final sea el mismo independientemente del orden parcial de las aplicaciones, siempre y cuando se respeten las restricciones de semi-conmutatividad. Esto busca que un orden pueda llegar más rapido al punto fijo minimo que otro.

Aplicación del algoritmo de propagación¶

Algoritmo de Iteración Simple (SI)

d := ⊥

PARA i := k HASTA 1 HACER

d := fi(d)

FIN

Nota: Al finalizar, d = f1f2...fk(⊥).

Teorema

Dado un orden parcial (D, ⊑ ) con el menor elemento ⊥ y una secuencia finita F := {f1, ..., fk} de funciones que cumplen las siguientes propiedades:

Monótonas
Inflacionarias
Idempotentes

Entonces, el algoritmo SI termina y calcula en d el menor punto fijo común de las funciones en F.

En el contexto de un CSP (Problema de Satisfacción de Restricciones):

Este algoritmo aplica iterativamente funciones de propagación de restricciones a un dominio inicial ⊥, siguiendo un orden inverso (de k a 1). En cada iteración, la función correspondiente reduce el dominio actual d respetando las restricciones. El proceso garantiza que se alcancen dominios consistentes y refinados, ya que las funciones son monótonas (preservan el orden), inflacionarias (no disminuyen el dominio inconsistentemente) e idempotentes (no generan cambios adicionales al aplicarlas más de una vez). Al final del algoritmo, d contiene el menor punto fijo común, es decir, el estado más refinado donde todas las restricciones del CSP son satisfechas.

Algoritmo de Iteración Genérico (GI)

d := ⊥

G := F

MIENTRAS G ≠ ∅ HACER

Elegir una función g ∈ G
SI d ≠ g(d) ENTONCES
- G := G ∪ update(G, g, d)
- d := g(d)
EN OTRO CASO
- G := G − {g} FIN

Donde:

{f ∈ F − G | f(d) = d y f g(d) ≠ g(d)} ⊆ update(G, g, d)

Teorema de Iteración Genérica

Dado un orden parcial finito (D, ⊑ ) con el menor elemento ⊥ y un conjunto finito F := {f1, ..., fk} de funciones definidas en D, que son:

Inflacionarias
Monótonas

Entonces, toda ejecución del algoritmo GI:

Termina.
Calcula en d el menor punto fijo común de las funciones en F.

En el contexto de un CSP:

El algoritmo GI es una generalización del SI, diseñado para manejar restricciones más complejas y escenarios donde el orden de aplicación de las funciones no está completamente definido (falta de semi-conmutatividad). En cada iteración, una función g es seleccionada y aplicada a d, refinando los dominios de las variables. Si g produce un cambio significativo en d, el conjunto de funciones pendientes G se actualiza para incluir aquellas funciones que dependen del cambio realizado por g. Esto asegura que todas las restricciones relevantes sean procesadas. El algoritmo termina cuando G está vacío, lo que significa que no quedan dominios por refinar. Al finalizar, d contiene el menor punto fijo común, representando un estado consistente y óptimo para el CSP.

Instancias de los algoritmos para dominios compuestos:

Supongamos:

(D, ⊑) es un producto cartesiano de órdenes parciales.
Cada función f ∈ F está definida sobre algún subproducto cartesiano, determinado por un esquema (subsecuencia de [1..n]).
Para cada f ∈ F, f +: D → D.
- f + es la extensión canónica de f.
f y g conmutan si:
- f +g +(d) = g +f +(d), para todo d ∈ D.
f y g semi-conmutan (con respecto a ⊑) si:
- f +g +(d) ⊑ g +f +(d), para todo d ∈ D.

En el contexto de un CSP (Problema de Satisfacción de Restricciones):

Esto significa que cuando los dominios de las variables en el CSP se modelan como un producto cartesiano de órdenes parciales (por ejemplo, múltiples variables con sus respectivos dominios), las funciones de propagación de restricciones (f y g) pueden extenderse para operar sobre estas estructuras compuestas (extensión canónica f +). La propiedad de conmutatividad garantiza que el orden en que se aplican dos funciones de propagación no afecta el resultado final, es decir, el estado consistente alcanzado será el mismo. La semi-conmutatividad, por otro lado, implica que aunque el orden de aplicación pueda influir en el proceso intermedio, el resultado final sigue siendo consistente y respeta el orden parcial dado por ⊑. Esto asegura que el algoritmo de propagación sea robusto y converja al menor punto fijo común, que es el estado óptimo donde todas las restricciones están satisfechas.

Algoritmos para nodo y arco consistencia¶

Un CSP es consistente en nodo si para cada variable x, toda restricción unaria sobre x coincide con el dominio de x.

Algoritmo de Nodo:

S0 := {C | C es una restricción unaria de C};

S := S0;

MIENTRAS S ≠ ∅ HACER

elegir C ∈ S; supongamos que C está en xi;

Di := C ∩ Di;

S := S − {C};

FIN

Una instancia del algoritmo de Iteración Directa para dominios compuestos se deriva sistemáticamente al elegir el orden parcial y las funciones apropiadas.

Consistencia de Arcos como Punto Fijo:

πi+: extensión canónica de πi a todos los dominios.

Lema:

Un CSP hC; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dni es consistente en arco si y solo si (D1, ..., Dn) es un punto fijo común de todas las funciones π1+ y π2+.

Cada función de proyección πi es:

Inflacionaria con respecto al orden dado por ⊇,
Monótona con respecto al orden dado por ⊇.

Conclusión:

Podemos instanciar el algoritmo de dominios compuestos (CD) con las funciones de proyección. A este se le llama algoritmo ARC.

Resumen de los algoritmos de propagación en CSP¶

Los algoritmos de propagación en los Problemas de Satisfacción de Restricciones (CSP) tienen como objetivo reducir los dominios de las variables respetando las restricciones del problema, garantizando así un estado consistente antes de proceder con la búsqueda exhaustiva de soluciones. A continuación, se destacan los aspectos importantes:

Propósito de los algoritmos de propagación:
- Reducir los dominios de las variables para lograr consistencia local (nodo, arco o hiper arco) y evitar exploraciones innecesarias en el espacio de soluciones.
- Estabilizar el proceso en un punto fijo, donde no es posible reducir más los dominios sin violar las restricciones.
Propiedades importantes de las funciones utilizadas en propagación:
- Monotonía: Las funciones preservan el orden parcial establecido en los dominios.
- Idempotencia: Aplicar una función repetidamente no altera el resultado tras la primera ejecución.
- Inflacionaridad: Cada aplicación de la función expande o mantiene el estado actual de los dominios.
- Conmutatividad: El orden de aplicación de las funciones no afecta el resultado final.
Técnicas clave en propagación:
- Uso de colas para gestionar restricciones pendientes y garantizar la terminación del proceso.
- Evitar redundancias registrando las restricciones ya procesadas y los cambios aplicados.
- Aplicación iterativa de funciones a los dominios hasta alcanzar un estado consistente.
Algoritmos destacados:
- Iteración Directa (DI): Aplica funciones en un orden fijo, garantizando el menor punto fijo común.
- Iteración Genérica (GI): Permite manejar restricciones más complejas, actualizando dinámicamente las funciones pendientes en función de los cambios en los dominios.
Ventajas computacionales:
- Al reducir los dominios antes de la búsqueda, se minimiza el espacio de soluciones a explorar.
- La complejidad del proceso de propagación depende del número de variables, restricciones y del tamaño inicial de los dominios, pero es generalmente eficiente comparado con una búsqueda sin reducción previa.

Ejemplo práctico en la vida real¶

Un ejemplo práctico del uso de algoritmos de propagación es la planificación de horarios en una escuela. Supongamos que el problema es asignar clases a aulas y horarios, donde:

Las variables son las clases.
Los dominios son los horarios y aulas disponibles.
Las restricciones incluyen:
- No asignar dos clases al mismo tiempo y en la misma aula.
- Respetar la disponibilidad de los profesores.
- Evitar conflictos entre clases que comparten estudiantes.

Los algoritmos de propagación pueden reducir los dominios iniciales de las variables eliminando combinaciones imposibles antes de realizar una búsqueda exhaustiva. Por ejemplo, si un aula ya está asignada a otra clase en un horario específico, este horario puede ser eliminado del dominio de las otras clases. Esto reduce significativamente la complejidad computacional al evitar soluciones inviables desde el inicio.

En términos de complejidad, los algoritmos de propagación son más eficientes que explorar todas las combinaciones posibles, ya que se concentran en reducir el espacio de búsqueda sin necesidad de evaluar cada solución potencial. Esto es crucial en problemas con muchas variables y restricciones, como la planificación de horarios, optimizando el tiempo de cálculo y los recursos computacionales.

Busqueda¶

Busqueda es crear un nuevo CSP agregando una nueva restricción
La busqueda (splitting) se realiza después de propagar (dominio mas pequeño posible)
La busqueda
1. Arbol busqueda: Nodos CSP y las aristas son divisiones (por ejemplo agregar como hijo izquierdo x = 3, hijo derecho x ≠ 3)
2. Sobre este arbol se aplican diferentes algoritmos búsqueda (backtracking) si fallo en una hoja me devuelvo y sigo expandiendo
heuristicas
1. Selección de variables
  1. La que tiene el valor más pequeño en su dominio
  2. La que está más restrigida (que tiene relación con el mayor número de restricciones)
  3. La que tiene menos valores en su dominio
2. Selección de valores
  1. El más grande
  2. El más pequeño
  3. El de la mitad

Un ejemplo clásico relacionado con CSP y búsqueda es el problema de las N-Reinas, donde el objetivo es colocar N reinas en un tablero de ajedrez de tamaño N x N de manera que ninguna reina ataque a otra. Esto significa que no puede haber dos reinas en la misma fila, columna o diagonal.

Formulación como CSP:
- Las variables son las filas del tablero (una por cada reina).
- Los dominios son las columnas donde una reina puede colocarse en cada fila (inicialmente, todas las columnas están disponibles para cada fila).
- Las restricciones son:
  - Dos variables (reinas) no pueden compartir la misma columna.
  - Dos variables no pueden estar en la misma diagonal.
Ventajas de la búsqueda con propagación y heurísticas:
- Propagación: Antes de dividir el problema (búsqueda), se aplican algoritmos de propagación para reducir los dominios. Por ejemplo, si se coloca una reina en una fila y columna específica, esa columna y las diagonales correspondientes pueden eliminarse de los dominios de las filas restantes. Esto reduce significativamente el espacio de búsqueda.
- Árbol de búsqueda: En el árbol de búsqueda, cada nodo representa un CSP con dominios actualizados. Si una reina se coloca en una posición específica (por ejemplo, x = 3), el árbol genera dos nodos hijos: uno con la restricción x = 3 y otro con x ≠ 3.
- Backtracking: Si se llega a un nodo donde no hay soluciones válidas (por ejemplo, un dominio vacío), el algoritmo retrocede y explora otras ramas del árbol.
Uso de heurísticas:
- Selección de variables:
  - Elegir la variable con el dominio más pequeño (la fila con menos opciones de columnas disponibles). Esto ayuda a reducir rápidamente el espacio de búsqueda, ya que las filas más restringidas se resuelven primero.
  - Elegir la variable más restringida, es decir, aquella que tiene más restricciones con otras variables. Esto minimiza el riesgo de conflictos más adelante.
- Selección de valores:
  - Elegir el valor más pequeño (la primera columna disponible) o el más grande (la última columna disponible). Esto puede ser útil para explorar soluciones de manera ordenada.
  - Elegir el valor de la mitad (una columna central) para obtener una distribución más balanceada de las reinas en el tablero.
Ventajas de este enfoque:
- Eficiencia: La propagación reduce los dominios antes de comenzar la búsqueda, lo que disminuye el número de nodos en el árbol de búsqueda.
- Reducción del espacio de búsqueda: Con heurísticas bien diseñadas, se exploran primero las ramas más prometedoras del árbol, lo que aumenta la probabilidad de encontrar una solución rápidamente.
- Flexibilidad: El uso de heurísticas permite adaptar el enfoque según las características específicas del problema.
- Determinismo: Al combinar propagación con búsqueda y heurísticas, se garantiza que el proceso sea sistemático y converja hacia una solución (si existe).

En resumen, la combinación de propagación, búsqueda mediante un árbol y heurísticas permite resolver problemas de CSP de manera eficiente, minimizando el espacio de búsqueda y asegurando que se satisfagan todas las restricciones.

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