Ejercicio 2: Inducción¶

Demostrar que \(7^n - 1\) es múltiplo de 6 para todo \(n \in \mathbb{N}\).

Planteamiento: \(7^n - 1 = c \cdot 6\), donde \(c \in \mathbb{N}\).

Demostración por inducción matemática¶

\(7^1 - 1 = c \cdot 6\)
\(6 = c \cdot 6 \implies c = 1\)
Por lo tanto, \(7^1 - 1 = 6\), que es múltiplo de 6. ✅

Hipótesis inductiva \(P(k)\): Suponemos que \(7^k - 1 = c_1 \cdot 6\) para algún \(c_1 \in \mathbb{N}\).
Tesis inductiva \(P(k+1)\): Queremos demostrar que \(7^{k+1} - 1 = c_2 \cdot 6\) para algún \(c_2 \in \mathbb{N}\).

Desarrollo:

Partimos de \(P(k)\):
\(7^k - 1 = c_1 \cdot 6\)

Multiplicamos ambos lados por 7:
\(7 \cdot 7^k - 7 = 7 \cdot c_1 \cdot 6\)
\(7^{k+1} - 7 = 7c_1 \cdot 6\)

Llamemos \(c_3 = 7c_1\) (que es entero, pues \(c_1\) lo es):
\(7^{k+1} - 7 = c_3 \cdot 6\)

Reescribimos \(-7\) como \(-6 - 1\):
\(7^{k+1} - 6 - 1 = c_3 \cdot 6\)

Pasamos el \(-6\) al lado derecho:
\(7^{k+1} - 1 = c_3 \cdot 6 + 6\)

Factorizamos 6:
\(7^{k+1} - 1 = 6(c_3 + 1)\)

Definiendo \(c_2 = c_3 + 1\) (que es entero), obtenemos:
\(7^{k+1} - 1 = c_2 \cdot 6\)

Esto es exactamente \(P(k+1)\). ✅

Paso base: Se verifica la propiedad para el caso inicial (\(n=1\)). Esto ancla la inducción.
Hipótesis inductiva: Se asume que la propiedad es cierta para un \(k\) arbitrario (\(P(k)\)). Esta suposición es lícita porque no se está afirmando que sea cierta para todo \(n\), solo para un \(k\) fijo.
Paso inductivo: Usando \(P(k)\), se manipula algebraicamente la expresión para \(n=k+1\) hasta mostrar que también cumple la propiedad. La clave aquí fue:
Multiplicar por 7 para obtener \(7^{k+1}\).
Ajustar la expresión sumando/restando términos para recuperar la forma \(7^{k+1} - 1\).
Factorizar el 6 para mostrar que el resultado es claramente un múltiplo de 6.

Concepto	Descripción	Aplicación en este ejercicio
Inducción matemática	Método para demostrar proposiciones sobre números naturales.	Demostrar que \(7^n - 1\) es múltiplo de 6 para todo \(n \in \mathbb{N}\).
Paso base	Verificación de la proposición para el valor inicial del dominio.	Se comprobó que \(7^1 - 1 = 6\) es múltiplo de 6.
Hipótesis inductiva	Suposición de que la proposición es cierta para un \(k\) arbitrario.	Se asumió \(7^k - 1 = c_1 \cdot 6\) para algún entero \(c_1\).
Paso inductivo	Demostración de que si \(P(k)\) es cierta, entonces \(P(k+1)\) también lo es.	Se manipuló algebraicamente \(7^k - 1\) para obtener \(7^{k+1} - 1\) como múltiplo de 6.
Múltiplo de un número	Un número \(a\) es múltiplo de \(b\) si existe \(c\) entero tal que \(a = c \cdot b\).	\(7^n - 1 = c \cdot 6\) para algún \(c \in \mathbb{N}\).
Manipulación algebraica	Uso de operaciones algebraicas para transformar expresiones.	Multiplicar por 7, reescribir \(-7\) como \(-6-1\), factorizar.
Factorización	Expresar una suma como producto.	\(c_3 \cdot 6 + 6 = 6(c_3 + 1)\).

Estructura de la demostración: Toda demostración por inducción debe contener explícitamente: (a) enunciado de la proposición, (b) paso base, (c) hipótesis inductiva, (d) paso inductivo, y (e) conclusión.
Elección del caso base: En este ejercicio, \(n=1\) es natural porque la propiedad se pide para todos los números naturales. Si se pidiera para \(n \geq 0\), el caso base sería \(n=0\) (\(7^0 - 1 = 0\), que es múltiplo de 6).
Generalización: Este ejercicio es un caso particular del teorema: \(a^n - b^n\) es divisible por \(a - b\) para \(a \neq b\). Aquí, \(a=7\), \(b=1\), luego \(a-b=6\).
Importancia de la hipótesis inductiva: La clave del paso inductivo fue usar explícitamente \(7^k - 1 = c_1 \cdot 6\). Sin esta igualdad, no se podría haber construido la demostración.
Verificación de la validez: Después de la demostración, se puede verificar para algunos valores:
\(n=2\): \(7^2 - 1 = 49 - 1 = 48 = 8 \cdot 6\)
\(n=3\): \(7^3 - 1 = 343 - 1 = 342 = 57 \cdot 6\)
Aplicaciones en teoría de números: Este tipo de demostraciones son fundamentales en aritmética modular, donde \(7^n \equiv 1 \pmod{6}\) para todo \(n \geq 1\).
Errores comunes a evitar:
No justificar por qué \(c_1, c_2, c_3\) son enteros.
Olvidar el paso base.
Asumir lo que se quiere demostrar en el paso inductivo (circularidad).
No mostrar claramente cómo se pasa de \(P(k)\) a \(P(k+1)\).